RADIACIÓN ENTRE CUERPOS NEGROS

PROBLEMA

Cuando dos objetos se encuentran uno en presencia de otro, ocurre una transferencia de calor por radiación recíproca, entre ellos. 

La cantidad de energía que cada uno de ellos recibe,  depende de la geometría y de los materiales de los que están hechos.

¿Cómo se calcula esa cantidad de energía?

OBJETIVOS

Saber calcular la cantidad de energía radiada que es percibida por un cuerpo cuando está en presencia de otro.

Conocer la fórmula para calcular la cantidad de energía radiada intercambiada por dos placas paralelas.

Entender el concepto de factor de visión.

Utilizar las fórmulas para el cálculo del factor de visión en la determinación de la energía radiada intercambiada entre dos cuerpos.

MENÚ

• Intercambio radiante entre dos cuerpos negros

• Cantidad total de irradiación

• Placas paralelas
	• Placa aislante
	• Termo

• Otras Geometrías

• Factor de visión

• Ejemplos

INTERCAMBIO RADIANTE ENTRE DOS CUERPOS NEGROS

La cantidad total que irradia cada cuerpo (suponiéndolo un cuerpo negro)  depende exclusivamente de su temperatura: 

	• Si el cuerpo no es negro sino  gris, la  cantidad total de energía radiada depende de la  temperatura y de la  emisividad.  
	• La cantidad de energía radiada depende de la frecuencia de emisión  o longitud de onda.
	• Si dos objetos están uno en presencia de otro se irradian energía mutuamente.
	• La cantidad de energía recibida depende de la posición relativa de los cuerpos (geometría).

CANTIDAD TOTAL DE IRRADIACIÓN

INTERCAMBIO DE CALOR ENTRE PLACAS PARALELAS

Superficie 2 emite			 (Subscript[E, 2])
	Superficie 1 absorbe		 (Subscript[E, 2])(Subscript[α, 1])
	Superficie 1 refleja			 (Subscript[E, 2])(1-(Subscript[α, 1]))
	Superficie 2 absorbe		 (Subscript[E, 2])(1-(Subscript[α, 1]))(Subscript[α, 2])
	Superficie 2 refleja			 (Subscript[E, 2])(1-(Subscript[α, 1]))(1-(Subscript[α, 2]))
	Superficie 2 refleja			 (Subscript[E, 2])(1-(Subscript[α, 2]))(1-(Subscript[α, 1]))(1-(Subscript[α, 2]))
	Superficie 1 absorbe		 (Subscript[E, 2])(1-(Subscript[α, 2]))(1-(Subscript[α, 1]))(1-(Subscript[α, 2]))(Subscript[α, 1])
	...

Para realizar la suma de la energía absorbida por la placa 1 y la placa 2  conviene definir el parámetro
β = (1-α1) (1-α2). 

La energía absorbida por la placa 1 es:
(Subscript[E, 1])(1-(Subscript[α, 2]))(Subscript[α, 1])+(Subscript[E, 1])(1-(Subscript[α, 2]))(Subscript[α, 1])(1-(Subscript[α, 2]))(1-(Subscript[α, 1]))+... = (Subscript[E, 1])(1-(Subscript[α, 2]))(Subscript[α, 1])(1+β+(β^2)+...)

dado que (1/(1-β)) = (((1-β))^(-1)) = 1+β+(β^2)+...

De la misma manera puede escribirse la energía absorbida por la placa:
(((Subscript[E, 2])(1-(Subscript[α, 1]))(Subscript[α, 2]))/(1-β))

Por lo tanto la cantidad no absorbida por la placa 2 será: 
(Subscript[E, 2])-(((Subscript[E, 2])(1-(Subscript[α, 1]))(Subscript[α, 2]))/(1-β)) = (((Subscript[E, 2])(Subscript[α, 1]))/(1-β))

Y la absorbida por la placa 1:
(Subscript[(OverDot[q]), nct 1 a 2]) = (Subscript[E, 1])-(((Subscript[E, 1])(1-(Subscript[α, 2]))(Subscript[α, 1]))/(1-β))-(((Subscript[E, 2])(Subscript[α, 1]))/(1-β)) = (((Subscript[E, 1])-(Subscript[E, 1])(1-(Subscript[α, 1])-(Subscript[α, 2])+(Subscript[α, 1])(Subscript[α, 2]))-(Subscript[E, 1])(Subscript[α, 1])+(Subscript[E, 1])(Subscript[α, 1])(Subscript[α, 2])-(Subscript[E, 2])(Subscript[α, 1])  )/(1-(1-(Subscript[α, 1])-(Subscript[α, 2])+(Subscript[α, 1])(Subscript[α, 2])))) = (((Subscript[E, 1])(Subscript[α, 2])-(Subscript[E, 2])(Subscript[α, 1]) )/((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])-(Subscript[α, 1])(Subscript[α, 2])))

Si T1 =T2 = q = 0   	por lo tanto:	 ((Subscript[E, 1])/(Subscript[α, 1])) = (((Subscript[E, 2]) )/(Subscript[α, 2]))

Si además el cuerpo 2 es un cuerpo negro, entonces:
(Subscript[E, 2]) =σ(T^4)	y	((Subscript[E, 1])/(Subscript[α, 1]))=(((Subscript[ϵ, 1])σ(T^4))/(Subscript[α, 1]))=σ(T^4)

Lo que implica		
(Subscript[ϵ, 1])= (Subscript[α, 1])

y por lo tanto
(Subscript[(OverDot[q]), nct 1 a 2]) =(((Subscript[ϵ, 1])σ(Subscript[(T^4), 1])(Subscript[ϵ, 2])-(Subscript[ϵ, 2])σ(Subscript[(T^4), 2])(Subscript[ϵ, 1]))/((Subscript[ϵ, 1])+(Subscript[ϵ, 2])-(Subscript[ϵ, 1])(Subscript[ϵ, 2])))

Que puede reescribirse finalmente: 			
(Subscript[(OverDot[q]), nct 1 a 2]) =((σ(Subscript[((T^4), 1])-(Subscript[(T^4), 2])))/((1/(Subscript[ϵ, 1]))+(1/(Subscript[ϵ, 2]))-1))




CUERPO NO GRIS:
Si no aplica la hipótesis de cuerpo gris entonces, depende de T*(Subscript[ϵ, 1])
Donde T* =(Sqrt[(Subscript[T, 1])(Subscript[T, 2])])
(Subscript[(OverDot[q]), 1, net ]) =((Subscript[e, b1])-(Subscript[e, b1]))(1/((1/(Subscript[ϵ, 1]))(T*)+(1/(Subscript[ϵ, 2]))-1))

EJEMPLO. PLACA AISLANTE

PLACA AISLANTE:
Desarrolle una expresión para calcular la disminución de calor de radiación entre dos placas paralelas cuando entre ellas se coloca una placa de Aluminio



SOLUCIÓN:
Escribiendo la ecuación del calor radiado entre las superficies 1 y 2 
(Subscript[(OverDot[q]), 1, net ]) =((Subscript[e, b1])-(Subscript[e, b2]))(1/((1/(Subscript[ϵ, 1]))+(1/(Subscript[ϵ, 2]))-1))

Entre las superficies 2 y 3
(Subscript[(OverDot[q]), 2, net ]) =((Subscript[e, b2])-(Subscript[e, b3]))(1/((1/(Subscript[ϵ, 3]))+(1/(Subscript[ϵ, 2]))-1))

Como
(Subscript[(OverDot[q]), 1, net ]) =  (Subscript[(OverDot[q]), 2, net ])

entonces
(Subscript[(OverDot[q]), 1, net ]) =  ((((Subscript[e, b1])-(Subscript[e, b2])))/(((1/(Subscript[ϵ, 1]))+(1/(Subscript[ϵ, 2]))-1)+((1/(Subscript[ϵ, 2]))+(1/(Subscript[ϵ, 3]))-1)))
	


EL COCIENTE DA:
Si no hubiera una placa en medio el cálculo directo entre las superficies 1 y 3:

(Subscript[(OverDot[q]), 1, net ]) =((Subscript[e, b1])-(Subscript[e, b3]))(1/((1/(Subscript[ϵ, 1]))+(1/(Subscript[ϵ, 3]))-1))

((Subscript[(OverDot[q]), 1, net (protegido)])/(Subscript[(OverDot[q]), 1, net (no protegido)])) = (((1/(Subscript[ϵ, 1]))+(1/(Subscript[ϵ, 3]))-1)/(((1/(Subscript[ϵ, 1]))+(1/(Subscript[ϵ, 2]))-1)+((1/(Subscript[ϵ, 2]))+(1/(Subscript[ϵ, 3]))-1)))

con:		(Subscript[ϵ, 1])=(Subscript[ϵ, 3])=0.8		y	 (Subscript[ϵ, 2])=0.2

Entonces, el cociente da:
0.143
Mayor apantallamiento puede conseguirse introduciendo más placas.

Actividad.

En medio de dos placas de material refractario (e= 0.7) se coloca una placa para “apantallar” la radiación. ¿Cuál debe ser la emisividad del material del que se fabrique la placa, si se requiere que el apantallamiento sea de 70 %, ¿Cuál si se desea que sea del 75%?

TERMO

El siguiente ejemplo calcula la cantidad de calor radiada entre las dos paredes de un termo para estimar el calor transmitido al exterior


(Subscript[ϵ, 1])=(Subscript[ϵ, 3])=0.02 para cuerpos grises.  

(Subscript[T, 3])=(100^o)C = 373 K ; (Subscript[T, 3])=(20^o)C = 293 K.

(Subscript[(OverDot[q]), nct 1 a 2]) =((σ(Subscript[((T^4), 1])-(Subscript[(T^4), 2])))/((1/(Subscript[ϵ, 1]))+(1/(Subscript[ϵ, 2]))-1)) = (((5.67X (10^(-8))W/(m^2)(K^4))((((373 K))^4)-(((293 K))^4)))/((1/0.02)+(1/0.02)-1)) = 6.9 W/(m^2).


y lo compara con la cantidad de aislante (corcho) que habría que colocar para obtener el mismo efecto

para el mismo ΔT, si tuviéramos aislamiento de corcho con k = 0.04 W/m-K, ¿qué grosor se necesitaría?

(OverDot[q]) =((kΔT)/L) 

entonces un grosor 

L = ((kΔT)/(OverDot[q]))= (((0.04 W/m-K)(80 K))/(6.9W/(m^2))) = 0.47 m  sería necesario. 
El termo es un buen aislante.

OTRAS GEOMETRÍAS

En la clase anterior se usaron las tablas 

¿Qué significado tiene la función (Subscript[I, λb]) (λ, T)?
(Subscript[I, λb]) (λ, T) = ((2(Subscript[hc, 0]^2))/((λ^5)[exp((Subscript[hc, 0])IλkT)-1]))



I es la intensidad de la radiación y está relacionada con la distribución angular de la radiación

INTENSIDAD ESPECTRAL:
Definimos a (Subscript[I, λ]), e como la tasa a la cual la energía radiante es emitida en la longitud de onda λ en la dirección (θ, φ), por unidad de área de la superficie de emisión normal a esa dirección, por unidad de ángulo sólido, alrededor de esa dirección y por unidad de intervalo de longitud de onda dλ alrededor de λ.

ALGUNOS EJEMPLOS

ÁNGULO SOLIDO:



INTEGRACIÓN HEMISFÉRICA DEL ÁNGULO SÓLIDO

LEY DE LAMBERT

Si la intensidad de radiación es independiente de la dirección para una superficie negra, se cumple la Ley de Lambert.
La integral de la intensidad de radiación sobre toda el área emisora  da la potencia de emisión del cuerpo negro:
“La iluminación producida por una fuente luminosa sobre una superficie es directamente proporcional a la intensidad de la fuente y al coseno del ángulo que forma la normal a la superficie con la dirección de los rayos de luz y es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a dicha fuente”

(Subscript[E, λ])(λ) = (Subscript[q, λ]^n)(λ) = (∫_0^(2π))(∫_0^(π/2))(Subscript[I, λ,e])(λ,θ,Φ) cosθ sinθ dθ dΦ

E = ((Icosα)/r2)

(Subscript[E, λ])(λ) = π(Subscript[I, λ,e])(λ) =σ (T^4)

INTENSIDAD ESPECTRAL HEMISFÉRICA

Radiación emitida desde un área diferencial dA, en un ángulo sólido dω subtendido por un área d(Subscript[A, n]) en un punto d(Subscript[A, 1])

E =(∫_0^∞) (∫_0^(2π))(∫_0^(π/2))(Subscript[I, λ,e])(λ,θ,Φ)cosθ sinθ dθ dΦ dλ

(Subscript[E, λ])(λ) = (Subscript[q, λ]^n)(λ) = (∫_0^(2π))(∫_0^(π/2 ))(Subscript[I, λ,e]) (λ,θ,Φ) cosθ sinθ dθ dΦ

(Subscript[E, λ])(λ) = π(Subscript[I, λ,e])(λ)

E =(∫_0^(∞ ))(Subscript[E, λ])(λ) dλ

INTERCAMBIO RADIANTE ENTRE DOS CUERPOS NEGROS

Se considera la velocidad neta de transmisión de calor entre un par de elementos de superficie d(Subscript[A, 1]) y d(Subscript[A, 2])

EJMPLO. DOS PLACAS A 90 GRADOS

Dos placas de un área pequeña se encuentran separadas una distancia r y con sus superficies ortogonales, como lo muestra la  figura. Determina a) el ángulo (Subscript[θ, 1]) entre la línea que une las placas y la normal a la superficie de la placa 1 b) el ángulo (Subscript[θ, 2]) entre la línea que une las placas y la normal a la superficie de la placa 2 c) El ángulo sólido subtendido por la placa 2 y d) la irradiación de (Subscript[A, 1]) que es recibida por (Subscript[A, 2]) .

Si (Subscript[A, 1]) = 10 (cm^2) = (Subscript[A, 2]) y r= 0,5 m determina el valor de la irradiación de A1 que es recibida por (Subscript[A, 2])  cuando (Subscript[I, 2]) vale 1000 W/(m^2) sr.


SOLUCIÓN:


Dos placas de un área pequeña es por definición: 

d(Subscript[ω, 2-1])= ((Subscript[A, n, 2])/(r^2)) donde (Subscript[A, n, 2]) = d(Subscript[A, 2]) Cos(Subscript[θ, 2]).

Siendo (Subscript[θ, 2]) el ángulo entre la normal (Subscript[n, 2]) y la línea que conecta d(Subscript[A, 1]) y d(Subscript[A, 2]), la cantidad de radiación recibida por la placa 2, proveniente de la placa 1 es el producto de:

a)	la irradiación emitida por la superficie 1 en la dirección de la línea que 		conecta las superficies: (Subscript[I, 1])(Subscript[A, 1])Cos(Subscript[θ, 1  ]) multiplicada por:

b)	el ángulo sólido subtendido por (Subscript[A, 2]) : d(Subscript[ω, 2-1]) = ((Subscript[A, n, 2])/(r^2)) = (((Subscript[A, 2])Cos(Subscript[θ, 2]))/(r^2)),
	(Subscript[q, 1_2]) = ((Subscript[I, 1])(Subscript[A, 1])Cos(Subscript[θ, 1  ]))((((Subscript[A, 2])Cos(Subscript[θ, 2]))/(r^2)))
	
	con los datos del problema (Subscript[I, 1]) = 1000 W/(m^2) sr. (Subscript[A, 1]) = 10c(m^2) = (Subscript[A, 2])(Subscript[θ, 1  ]) = (60^o)(Subscript[θ, 2]) = (30^o)
	
	(Subscript[q, 1_2]) = (1000)((10^(-3)))(0.866)((10^(-3)))(0.05)(4) = 0.00173 W

COMENTARIOS

La irradiación recibida (Subscript[q, 1_2]) = ((Subscript[I, 1])(Subscript[A, 1])Cos(Subscript[θ, 1  ]))((((Subscript[A, 2])Cos(Subscript[θ, 2]))/(r^2))) es la emitida por la placa 1 multiplicada por un factor de apantallamiento.

El factor de apantallamiento está formado por el producto del área que emite ((Subscript[A, 1])) y del área que recibe ((Subscript[A, 2])) multiplicado por los cosenos de los ángulos (Subscript[θ, 1])  y  (Subscript[θ, 2]) que forman la línea que une las placas con respecto a cada una de las normales, dividido entre el cuadrado de la distancia que los separa.

Este factor de apantallamiento puede calcularse también cuando los objetos que se irradian no son placas sino que tienen una geometría arbitraria.

En ese caso puede hacerse una descomposición infinitesimal de las áreas radiantes en las placas de área dA. El factor de apantallamiento, llamado también de forma o de visión, se escribe entonces:

((Cos(Subscript[θ, 1])Cos(Subscript[θ, 2]))/((Subscript[r, 1,2])^2))d(Subscript[A, 1])d(Subscript[A, 2])

CANTIDAD DE ENERGÍA QUE SALIENDO DEL CUERPO 1, ALCANZA EL CUERPO 2

Escribiendo la expresión:

(Subscript[q, 1_2]) = ((Subscript[I, 1])(Subscript[A, 1])Cos(Subscript[θ, 1  ]))((((Subscript[A, 2])Cos(Subscript[θ, 2]))/(r^2)))


En forma diferencial y reordenando los términos:  		  

d(Subscript[q, 1_2]) = (Subscript[I, 1])(((Cos(Subscript[θ, 1])Cos(Subscript[θ, 2])(Subscript[dA, 1])(Subscript[dA, 2]))/(r^2)))

como:	

 (Subscript[I, 1]) = (((σT)^4)/π)
 
 entonces: 
 
 d(Subscript[q, 1_2]) = (((σT)^4)/π)(((Cos(Subscript[θ, 1])Cos(Subscript[θ, 2])(Subscript[dA, 1])(Subscript[dA, 2]))/(r^2)))

FLUJO ENTRE LOS DOS CUERPOS

Análogamente para la cantidad de energía que alcanza el cuerpo 1 saliendo del 2 podemos escribir:

 d(Subscript[q, 1_2]) = (((σT)^4)/π)(((Cos(Subscript[θ, 1])Cos(Subscript[θ, 2])(Subscript[dA, 1])(Subscript[dA, 2]))/(r^2)))	 
 
 Y la cantidad neta d energía de radiación intercambiada entre ambos cuerpos es:
 
  d(Subscript[q, (Overscript[12, ⟶])])  - d(Subscript[q, (Overscript[21, ⟶])])  = (σ/π)((Subscript[((σT)^4), 1]) - (Subscript[((σT)^4), 2]))((Cos(Subscript[θ, 1])Cos(Subscript[θ, 2]))/(Subscript[(r^2), 12]))(Subscript[dA, 1])(Subscript[dA, 2])	 
  
Integrando sobre las parejas de áreas (Subscript[A, 1]) y (Subscript[A, 2]) que se ven mutuamente:

(Subscript[q, 12])  =  (σ/π)((Subscript[(T^4), 1]) - (Subscript[(T^4), 2])) ∫∫ ((Cos(Subscript[θ, 1])Cos(Subscript[θ, 2]))/(Subscript[(r^2), 12])) (Subscript[dA, 1])(Subscript[dA, 2])

FACTORES DE VISIÓN

El resultado puede expresarse en términos de las áreas de los cuerpos y de los factores de visión (Subscript[F, jk]) con j,k = 1,2

(Subscript[Q, 12]) = (Subscript[A, 1])(Subscript[F, 12])σ((Subscript[(T^4), 1]) - (Subscript[(T^4), 2])) = (Subscript[A, 2])(Subscript[F, 21])σ((Subscript[(T^4), 1]) - (Subscript[(T^4), 2]))

El factor de visión (Subscript[F, 12]) representa la fracción de radiación que sale de (Subscript[A, 1]) que es interceptada directamente por (Subscript[A, 2]).

Puede calcularse de la integral en algunos casos simples u obtenerse de gráficas.


Más detalles:   M. JAKOB, Heat Transfer, Wiley, Nueva York (1957). vol. II, capítulo 31.

CÁLCULO DEL FACTOR DE VISIÓN

Para calcular el factor de visión influye la geometría de los cuerpos (sus dimensiones N, L y el ángulo que forman φ)

Ejemplos de gráficas para diferentes valores de N, L y φ

OTRAS CORRELACIONES PARA CONVECCIÓN NATURAL

CUIDADO CON LAS CORRELACIONES

http://tylervigen.com/spurious-correlations

Actividades.

Repaso. 
Focos.

Una placa cuadrada de 0.6m X 0.6 m está en un cuarto a 3◦ C Una de las caras de la placa se encuentra a 9◦ C mientras que la otra está aislada. ¿Cuál es la tasa de transferencia de calor si
a) la placa está vertical,
b) horizontal con la cara caliente hacía arriba y
c) horizontal con la cara caliente hacía abajo.

EJEMPLO

Por las propiedades del agua a (60^o), tenemos:

(Subscript[Ra, δ]) = (((9.8 m/(s^2))(5.18(x10^(-4))(K^(-1)))(80K)(((0.08m))^3)(3.02))/(((0.478(x10^(-6))(m^2)/s))^2))
encontramos:

(OverBar[(Subscript[NU, δ])]) = 1+1.44+76.8+0.1 = 79.3

(OverBar[(Subscript[h, c])]) = (OverBar[(Subscript[NU, δ])]) (k/δ) = (((79.3)(0.657 W/mK))/(0.08 m)) = 651 W/(m^2)K

La tasa inicial de la transferencia de calor, por lo tanto es: 

q = (651 W/(m^2)K)(((π (0.15^2) (m^2))/4))(80K)

q = 920 W

CUESTIONARIO (1/4)

1)	En el caso de la convección natural alrededor de una placa vertical, describe con palabras 
	a) cómo es el perfil de temperaturas y 
	b) cómo es el perfil de velocidades. 
	
2)	Compara el listado de magnitudes físicas que se utiliza en el caso de la convección natural con el de las que se usó para la 			convección forzada. Comenta.

3)	¿Cómo se determinan los números adimensionales que correlacionan la transferencia de calor por convección natural?

4)	¿Qué números adimensionales correlacionan la transferencia de calor por convección natural?

CUESTIONARIO (2/4)

5)	¿Por qué que  el número de Brinkman no se utiliza en el caso de la convección natural?

6)	¿Qué criterios determinan qué correlación debe utilizarse para calcular el coeficiente de transferencia de calor por convección 	natural?

7)	Escribe la expresión algebraica de los números adimensionales que  correlacionan la transferencia de calor por convección 		natural y da una interpretación en palabras, de lo que miden.

8)	¿Cómo se define el número de Rayleigh?

CUESTIONARIO (3/4)

9)	¿Para qué valores de Re y Gr la convección es a) forzada, b) natural y c) combinada?

10)	¿Qué mide β, el coeficiente de dilatación térmica y qué valor tiene en el caso de los gases ideales?

11)	¿Cuál es la fórmula para calcular el número de Nusselt en el caso de un cilindro horizontal en un fluido con convección natural?

12)	¿Cuál es la fórmula para calcular el número de Nusselt en el caso de una placa vertical en un fluido con convección natural 
	a) en la región de flujo laminar, 
	b) en la de flujo turbulento?

CUESTIONARIO (4/4)

13)	¿Cuál es la fórmula para calcular el número de Nusselt en el caso de una esfera en un fluido con convección natural?

14)	¿Para qué otras situaciones de convección natural se mostraron correlaciones en clase?  

15)	Menciona tres situaciones de convección natural para las que se mostraron correlaciones en clase  
	a) escribe las expresiones matemáticas de esas correlaciones y 
	b) señala sus límites de validez.  
	
16)	Explica el ejemplo visto en clase de correlación espuria y coméntalo

REFERENCIAS

Kreider. Análisis lineal.
OZISIK, M.N.  «Heat Conduction»

https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/

Conducción de calor en una aleta de enfriamiento por Rafael Fernández Flores (Universidad Nacional Autónoma de México) se distribuye bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional.

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE110517