Convección, Introducción y flujo externo Forzado 
(placas, esferas y cilíndros)

PROBLEMA

¿Cómo se calcula el flujo de calor cuando ocurre en presencia de un fluido en movimiento?

prm1=;
prm2=;
prm3=;
Grid[{{prm1,prm2,prm3}}]

OBJETIVOS

Comprender qué es la convección.

Conocer los principales conceptos relacionados con la capa límite térmica e hidrodinámica.

Entender la idea de semejanza.

Saber utilizar el teorema π.

Conocer qué representan los números adimensionales Re, Nu y Pr.

Conocer las principales correlaciones adimensionales para la convección forzada alrededor de una placa.

MENÚ

¿Qué es la convección?
	Natural y forzada

Repaso: 
	Capa límite
		Hidrodinámica y Térmica
		Semejanza
		Teorema Π

Números adimensionales
	Re, Nu y Pr
	Correlaciones

Convección forzada.
	Flujo paralelo sobre una placa
	Flujo alrededor de un cilindro
	Flujo alrededor de una esfera.

¿QUÉ ES LA CONVECCIÓN?

Es el transporte asociado al movimiento de un fluido

ρ((∂U)/(∂t))+𝓊((∂U)/(∂x))+𝓋((∂U)/(∂y))+𝓌((∂U)/(∂t))=-∇P-[∇•T]+ρℊ

Ejemplos

La atmosfera

Otros dos ejemplos

¿QUÉ ES LA CONVECCIÓN?

con=;
Grid[{{con,Grid[{{Style["Es el mecanismo más complejo de transmisión de calor pues depende de:",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["A) las propiedades del fluido :μ, k, ρ, Cp",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["B) la velocidad del fluido (Si es cero no hay convección)",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["C) Geometría",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["D) Rugosidad.",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]}}]

queconv=;
Grid[{{Style["El transporte del fluido tiene asociado una transferencia de energía.",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["El flujo de masa m multiplicado por el calor especifico (1/m)(dQ/dt) y por la.",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["Temperatura media (Subscript[T, m]) representa el flujo de energía:(dm/dt)(1/m)(dQ/dT)=(Subscript[mC, p])(Subscript[T, m])",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{queconv},{},{Style["La transferencia de energía asociada al transporte del fluido, en clase la identificamos con el coeficiente h dentro de la ley de enfriamiento de Newton",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["Q=hAΔT",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["Como en general se «conoce el área y la diferencia de temperaturas», resolver un problema donde hay transferencia por convección quiere decir conocer h",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["A partir de h pueden establecerse las condiciones de frontera para el estudio de los fenómenos no estacionarios.",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]

Valores típicos de h

Framed[Grid[{{"Tipo de convección","h [W/(m^2)k]"},{"Convección natural en gases","2 - 25"},{"Convección natural en líquidos","10 - 1000"},{"Convección forzada en gases","25 - 250"},{"Convección forzada en líquidos","50 - 20000"},{"Ebullición y condensación","2500 - 100000"}}],RoundingRadius->5]

Framed[Grid[{
{"kcal/(m^2)hr C -> Btu/(ft^2) hr F","*0.204",InputField[Dynamic[c1]],Dynamic[0.204*c1]},

{"kcal/(m^2)hr C -> W/mK","*1.162",InputField[Dynamic[c2]],Dynamic[1.162*c2]}
},Frame->All],Background->GrayLevel[0.85],RoundingRadius->8]

Ejemplos

Para la conducción independiente del tiempo

Actividad.

Revisa los ejercicios realizados en otra semanas y has una tabla de los valores de h que se han usado, compara con los valores de la tabla anterior y comenta.

¿DE DÓNDE SALE h?

Dos mecanismos posibles:

Resolviendo, con algún tipo de simplificaciones, las ecuaciones de movimiento y de transferencia de energía (concepto de capa límite)

De manera experimental

Para el calculo del coeficiente de conveccion h necesitamos caracterizar cinematica y termicamente el flujo

Seis incognitas:
	Campo de velocidades del flujo: u, v, w
	Presion, Temperatura, Densidad

Sistema de seis ecuaciones:
	Cantidad de movimiento (en derivadas parciales)
	Conservacion de la masa (o de continuidad)
	Energia
	Estado del fluido

Condiciones de contorno:
	Velocidad nula en la parede
	Gradiente de velocidad nulo en el flujo sin perturbar
	Temperatura en la superficie
	Gradiente de temperatura nulo en el flujo sin perturbar

CAPA LÍMITE

Región donde están presentes los gradientes de velocidad o temperatura. “Cercana” a un objeto

im1=;
im2=;
Grid[{{Style["Hidrodinámica: Gradientes de velocidad.",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["Térmica: Gradientes de temperatura.",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{im1,im2},{Style["𝓊((∂U)/(∂x))+𝓋((∂U)/(∂y))=γ(((∂^2)U)/(∂(y^2)))","(γ/(α))=Pr","𝓊((∂T)/(∂x))+𝓋((∂T)/(∂y))=α(((∂^2)T)/(∂(y^2)))",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["δ=(4.64/(R^(1/2)))X",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["(Subscript[δ, t])=0.976(Pr^(1/3))δ",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]

Perfiles de velocidad y Temperatura en la capa límite.

U(y)=(3/2)((Subscript[U, ∞])/δ)y-((Subscript[U, ∞])/(2(δ^3)))(y^3)

T(y)=(Subscript[T, s])+(3/2)((((Subscript[T, ∞])-(Subscript[T, s])))/(Subscript[δ, t]))y-((((Subscript[T, ∞])-(Subscript[T, s])))/(2((Subscript[δ, t])^3)))(y^3)

Framed[Manipulate[
Switch[ctrl,1,Grid[{
(*Prandatl*){Style["Pr",FontFamily->"Times New Roman",14],Style["=",FontFamily->"Times New Roman",14],Style[(Cp*μ/k),FontFamily->"Times New Roman",14,FontColor->RGBColor[0.68,0,0]]},
(*Reynols*){Style["Re",FontFamily->"Times New Roman",14],Style["=",FontFamily->"Times New Roman",14],Style[(ρ*u*L/μ),FontFamily->"Times New Roman",14,FontColor->RGBColor[0.68,0,0]]},{Style["δ",FontFamily->"Times New Roman",14],Style["=",FontFamily->"Times New Roman",14],Style[(4.64*b/(((ρ*u*L/μ))^(1/2))),FontFamily->"Times New Roman",14,FontColor->RGBColor[0.68,0,0]]},{Style["δt",FontFamily->"Times New Roman",14],Style["=",FontFamily->"Times New Roman",14],Style[(0.976*(((Cp*μ/k))^(1/3))*(4.64*b/(((ρ*u*L/μ))^(1/2)))),FontFamily->"Times New Roman",14,FontColor->RGBColor[0.68,0,0]]},{Style["Para la velocidad",FontFamily->"Times New Roman",14]},{Style["a",FontFamily->"Times New Roman",14],Style["=",FontFamily->"Times New Roman",14],Style[0,FontFamily->"Times New Roman",14,FontColor->RGBColor[0.68,0,0]]},{Style["b",FontFamily->"Times New Roman",14],Style["=",FontFamily->"Times New Roman",14],Style[((3/2)*(u/(4.64*b/(((ρ*u*L/μ))^(1/2))))),FontFamily->"Times New Roman",14,FontColor->RGBColor[0.68,0,0]]},{Style["c",FontFamily->"Times New Roman",14],Style["=",FontFamily->"Times New Roman",14],Style[0,FontFamily->"Times New Roman",14,FontColor->RGBColor[0.68,0,0]]},{Style["d",FontFamily->"Times New Roman",14],Style["=",FontFamily->"Times New Roman",14],Style[(-u/(2*(((4.64*b/(((ρ*u*L/μ))^(1/2))))^3))),FontFamily->"Times New Roman",14,FontColor->RGBColor[0.68,0,0]]},
{Style[Grid[{{"U(y)"}}],FontFamily->"TimesNewRoman",14],Style["=",FontFamily->"Times New Roman",14],Style[((3/2)*(u/(4.64*b/(((ρ*u*L/μ))^(1/2))))),FontFamily->"Times New Roman",14,FontColor->RGBColor[0.68,0,0]] , Style["y",FontFamily->"Times New Roman",14],Style[(-u/(2*(((4.64*b/(((ρ*u*L/μ))^(1/2))))^3))),FontFamily->"Times New Roman",14,FontColor->RGBColor[0.68,0,0]] , Style["(y^3)",FontFamily->"Times New Roman",14]},

{Style["Para la temperatura",FontFamily->"Times New Roman",14]},{Style["e",FontFamily->"Times New Roman",14],Style["=",FontFamily->"Times New Roman",14],Style[(temps+273.15),FontFamily->"Times New Roman",14,FontColor->RGBColor[0.68,0,0]]},{Style["f",FontFamily->"Times New Roman",14],Style["=",FontFamily->"Times New Roman",14],Style[((3/2)*((tempa+273.15)-(temps+273.15))/(0.976*(((Cp*μ/k))^(1/3))*(4.64*b/(((ρ*u*L/μ))^(1/2))))),FontFamily->"Times New Roman",14,FontColor->RGBColor[0.68,0,0]]},{Style["g",FontFamily->"Times New Roman",14],Style["=",FontFamily->"Times New Roman",14],Style[0,FontFamily->"Times New Roman",14,FontColor->RGBColor[0.68,0,0]]},{Style["h",FontFamily->"Times New Roman",14],Style["=",FontFamily->"Times New Roman",14],Style[(-((tempa+273.15)-(temps+273.15))/(2*(((0.976*(((Cp*μ/k))^(1/3))*(4.64*b/(((ρ*u*L/μ))^(1/2)))))^3))),FontFamily->"Times New Roman",14,FontColor->RGBColor[0.68,0,0]]},
{Style[Grid[{{"T(y)"}}],FontFamily->"TimesNewRoman",14],Style["=",FontFamily->"Times New Roman",14],Style[((temps+273.15)),FontFamily->"Times New Roman",14,FontColor->RGBColor[0.68,0,0]],Style[((3/2)*((tempa+273.15)-(temps+273.15))/(0.976*(((Cp*μ/k))^(1/3))*(4.64*b/(((ρ*u*L/μ))^(1/2))))),FontFamily->"Times New Roman",14,FontColor->RGBColor[0.68,0,0]] , Style["y",FontFamily->"Times New Roman",14],Style[(-((tempa+273.15)-(temps+273.15))/(2*(((0.976*(((Cp*μ/k))^(1/3))*(4.64*b/(((ρ*u*L/μ))^(1/2)))))^3))),FontFamily->"Times New Roman",14,FontColor->RGBColor[0.68,0,0]] , Style["(y^3)",FontFamily->"Times New Roman",14]}


}],2,Plot[{((3/2)*(u/(4.64*b/(((ρ*u*L/μ))^(1/2)))))y+(-u/(2*(((4.64*b/(((ρ*u*L/μ))^(1/2))))^3)))(y^3),(temps+273.15)+((3/2)*((tempa+273.15)-(temps+273.15))/(0.976*(((Cp*μ/k))^(1/3))*(4.64*b/(((ρ*u*L/μ))^(1/2)))))y-(-((tempa+273.15)-(temps+273.15))/(2*(((0.976*(((Cp*μ/k))^(1/3))*(4.64*b/(((ρ*u*L/μ))^(1/2)))))^3)))(y^3)},{y,0,dx}]],TextCell[Text[Style["TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN NATURAL",Bold,18]]],{{ctrl,1," "},{1-> "Datos",2-> "Grafica" },ImageSize->Large},
{{dx,5,Style["Eje X",FontFamily->"TimesNewRoman",14]},0,100,Appearance->"Labeled",LabelStyle->{14,FontFamily->"TimesNewRoman"}},
{{L,5,Style["Longitud placa, m",FontFamily->"TimesNewRoman",14]},0,100,Appearance->"Labeled",LabelStyle->{14,FontFamily->"TimesNewRoman"}},
{{b,5,Style["Distancia del borde de ataque, m",FontFamily->"TimesNewRoman",14]},0,100,Appearance->"Labeled",LabelStyle->{14,FontFamily->"TimesNewRoman"}},{{u,5,Style["Velocidad, m/s",FontFamily->"TimesNewRoman",14]},0,100,Appearance->"Labeled",LabelStyle->{14,FontFamily->"TimesNewRoman"}},
{{h,1,Style["Altura, m",FontFamily->"TimesNewRoman",14]},0,100,Appearance->"Labeled",LabelStyle->{14,FontFamily->"TimesNewRoman"}},
{{temps,30,Style["Temperatura de la Superficie, °C",FontFamily->"TimesNewRoman",14]},0,1000,Appearance->"Labeled",LabelStyle->{14,FontFamily->"TimesNewRoman"}},{{tempa,30,Style["Temperatura del ambiente, °C",FontFamily->"TimesNewRoman",14]},0,1000,Appearance->"Labeled",LabelStyle->{14,FontFamily->"TimesNewRoman"}},
{{μ,1,Style["μ, kg (m^(-1)) (hr^(-1))",FontFamily->"TimesNewRoman",14]},0,10,Appearance->"Labeled",LabelStyle->{14,FontFamily->"TimesNewRoman"}},
{{ρ,1,Style["ρ, kg (m^(-3))",FontFamily->"TimesNewRoman",14]},0,10,Appearance->"Labeled",LabelStyle->{14,FontFamily->"TimesNewRoman"}},
{{Cp,1,Style["Cp, kcal (kg^(-1)) (K^(-1))",FontFamily->"TimesNewRoman",14]},0,10,Appearance->"Labeled",LabelStyle->{14,FontFamily->"TimesNewRoman"}},
{{k,1,Style["k, kcal (hr^(-1)) (m^(-1)) (K^(-1))",FontFamily->"TimesNewRoman",14]},0,10,Appearance->"Labeled",LabelStyle->{14,FontFamily->"TimesNewRoman"}}],Background->GrayLevel[0.85],RoundingRadius->8]

Ejemplo de solución teórica.

Una placa plana se coloca en una corriente de aire a presión atmosférica que fluye paralela a ella a una velocidad de 5 m/s. La temperatura en la superficie de la placa se mantiene uniforme a 200 C y la correspondiente a la corriente principal de aire es 30 C.  Calcule la temperatura y la velocidad a una altura de 4 mm y a una distancia de 30 cm del borde de ataque.

ACTIVIDAD

Usar el simulador para trazar perfiles de velocidad y de temperatura.

EXPERIMENTALMENTE

Equivalentemente, h puede obtenerse  mediante la experimentación en modelos a escala y el uso de números adimensionales que preserven la relación de fuerzas, es decir modelos semejantes (correlaciones adimensionales).

Ejemplo:

Button[Mouseover[Style["https://www.youtube.com/watch?v=D039VFEW474&index=1&list=PLBEXDPatoWBmX3yrpEObbUoNF5rbbNcgX","Hyperlink"],Style["https://www.youtube.com/watch?v=D039VFEW474&index=1&list=PLBEXDPatoWBmX3yrpEObbUoNF5rbbNcgX","HyperlinkActive"]],NotebookLocate[{URL["https://www.youtube.com/watch?v=D039VFEW474&index=1&list=PLBEXDPatoWBmX3yrpEObbUoNF5rbbNcgX"],None}],Appearance->None]
Button[Mouseover[Style["https://www.youtube.com/watch?v=GAIC4jnKl8s&list=PLBEXDPatoWBmX3yrpEObbUoNF5rbbNcgX&index=76","Hyperlink"],Style["https://www.youtube.com/watch?v=GAIC4jnKl8s&list=PLBEXDPatoWBmX3yrpEObbUoNF5rbbNcgX&index=76","HyperlinkActive"]],NotebookLocate[{URL["https://www.youtube.com/watch?v=GAIC4jnKl8s&list=PLBEXDPatoWBmX3yrpEObbUoNF5rbbNcgX&index=76"],None}],Appearance->None]

TEOREMA DE Pi (Π) DE BUCKINGHAM

La relación de semejanza se expresa por números adimensionales.

Dado un problema físico ¿Cuántos números adimensionales, independientes entre ellos,  podemos usar para describirlo?

La respuesta la da el
TEOREMA Π

Sea

m: Variables homogéneas; por ejemplo: diámetro (D), velocidad (v), Temperatura (T), longitud (L), presión (P),…

n: Dimensiones de referencia longitud [L], tiempo [t], masa [M], temperatura [T]…

Entonces se obtendrán:

(m-n): Números adimensionales Π

EJEMPLO

Determinar los números adimensionales para la transferencia de calor de un tubo por el que circula un fluido caliente al medio que lo rodea.

Grid[{{"Variable","Unidades","M","L","T","t"},{"D","L","1","0","0","0"},{"K","(ML/((t^3) T))","1","1","-1","-3"},{"(Subscript[U, ∞])","(L/t)","0","1","0","1"},{"ρ","(M/(L^3))","1","-3","0","0"},{"μ","(M/Lt)","1","-1","0","-1"},{"(Subscript[C, p])","((L^2)/((t^2) T))","0","2","-1","-2"},{"h","(M/((t^3) T))","1","0","-1","-3"}},Frame->All]

Sustituyendo las magnitudes nos lleva a un sistema de ecuaiones

π=(((((((((((((([L])^a)[(ML/((t^3)T))])^b)[(L/t)])^c)[(M/(L^3))])^d)[(M/Lt)])^e)[((L^2)/((t^2)T))])^f)[(M/((t^3)T))])^g)

[M]     b+d+e+g=0
[L]     a+b+c-3d-e+2f=0
[t]    -3b-c-e-2f-3g=0
[T]     -b-f-g=0

flecha=;
Grid[{{flecha,Style["El sistema de cuatro ecuaciones, tiene siete incógnitas entonces pueden determinarse \"arbitrariamente\" tres de ellas.\!\(\*StyleBox["\"",FontSize->16]\),FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{flecha,Style["
La manera de determinarlas \"arbitrariamente\"; no es tan arbitraria, ni es única.",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{flecha,Style["Su selección pasa por la física (y la matemática) del problema",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]

Por ejemplo, en un caso pueden seleccionarse

Grid[{{Style["Por ejemplo, en un caso pueden seleccionarse",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Grid[{{Style["En un caso",FontFamily->"Comic Sans MS",16],"   ",Style["En otro",FontFamily->"Comic Sans MS",16],"   ",Style["E en otro",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]},{},{Grid[{{Style["g=1, c=0, d=0",FontFamily->"Comic Sans MS",16],"   ",Style["a=1, f=0, g=0",FontFamily->"Comic Sans MS",16],"   ",Style["e=1, c=0, g=0",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]}}]

Primer caso

pc=;
Grid[{{pc,Grid[{{Style["En el primer caso (g=1, c=0 y d=0) la solución del sistema de ecuaciones es:",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["a=1, b=-1, e=0, f=0",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["Lo que sustituido en: ",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["π=[L]^a[(ML/((t^3) T))]^b[(L/t)]^c[(M/(L^3))]^d[(M/Lt)]^e[((L^2)/((t^2) T))]^f[(M/((t^3) T))]^g",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Grid[{{Style["Da: (Subscript[π, 1])=(hD/k)",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["Que es el numero de Nusselt",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]}}]}}]

pc=;
Grid[{{pc,Grid[{{Style["En el segundo caso (a=1, f=0 y g=0) la solución del sistema de ecuaciones es:",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style[" b=1, c=1, d=1, e=-1",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["Lo que sustituido en: ",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["π=[L]^a[(ML/((t^3) T))]^b[(L/t)]^c[(M/(L^3))]^d[(M/Lt)]^e[((L^2)/((t^2) T))]^f[(M/((t^3) T))]^g",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Grid[{{Style["Da: (Subscript[π, 2])=(((Subscript[U, ∞]) Dρ)/μ)",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["Que es el numero de Reynolds",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]}}]}}]

pc=;
Grid[{{pc,Grid[{{Style["En el tercer caso (e=1, c=0 y g=0) la solución del sistema de ecuaciones es: ",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["a=0, b=-1,  d=0, f=1",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["Lo que sustituido en: ",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["π=[L]^a[(ML/((t^3) T))]^b[(L/t)]^c[(M/(L^3))]^d[(M/Lt)]^e[((L^2)/((t^2) T))]^f[(M/((t^3) T))]^g",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Grid[{{Style["Da: (Subscript[π, 3])=(((Subscript[C, p]) μ)/k) ",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["Que es el numero de Prandtk",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]}}]}}]

UN “INFILTRADO”

(Subscript[π, 3])=((gβ(T-(Subscript[T, ∞]))(L^3))/(v^2))  Que es el numero de Grashof

Actividad.

Convencerse por sustitución directa que cada una de las tres selecciones de valores, lleva al sistema de ecuaciones presentado y a los números adimensionales de Reynolds (Re), Nusselt (Nu) y Prandtl (Pr).

nus=;
rey=;
pran=;

Grid[{{nus,rey,pran}}]

USO DE GRÁFICAS PARA CONDUCCIÓN NO ESTACIONARIA EN COORDENADAS CILÍNDRICAS
En resumen

Grid[{{Style["(Subscript[π, 1])=(hD/k)",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["NUSSELT",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["(Subscript[π, 1])=(((Subscript[U, ∞])Dρ)/μ)",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["REYNOLDS",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["(Subscript[π, 3])=(((Subscript[C, p])μ)/k)",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["PRANDTL",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]

UN "INFILTRADO" (Subscript[π, 4]) =((gβ(T-(Subscript[T, ∞]))(L^3))/(v^2))  Grashof

Ya antes habíamos encontrado también el número de Brinkman  Br , pero como por lo general en la transferencia de calor por convección, la viscosidad no es muy importante, el Br  no tendrá mucha relevancia.

MÉTODO GRÁFICO Y ANÁLISIS MULTIDIMENSIONAL.

CRITERIOS PARA DETERMINAR SI SE TRATA DE CONVECCIÓN FORZADA O NATURAL.

Actividad.

Escribe en una hoja de Excel las fórmulas para calcular los números de Prandtl, Reynolds y Nusselt. 
	Utilízala para calcular los valores de los números adimensionales solicitados en las siguientes diapositivas: 
	Al menos en un caso de cada uno de los apartados anteriores realiza la simplificación de las unidades para que verifiques que queda un número adimensional. 
	Saca la imagen de la simplificación y súbela con el reporte:

Prandtl

Reynolds

Nusselt

Convección forzada sobre una placa. Cálculo de h

Se trata de resolver las ecuaciones de la capa límite (o equivalentemente de encontrar correlaciones experimentales) así que hay que conocer las condiciones a la frontera.  Hay dos casos:

Temperatura uniforme
Flujo de calor uniforme

También habrá que distinguir si el flujo es laminar o turbulento.

Para seleccionar las correlaciones experimentales adecuadas hay que considerar la variación de h a lo largo de la placa y los intervalos de variación del Pr.

EL REYNOLDS

Marca la transición laminar-turbulento.
La turbulencia aumenta los valores de los coeficientes de transporte.
Importante conocer la longitud de transición .

El punto de transición se conoce como longitud crítica

Puede calcularse a partir de la fórmula del Reynolds

Criterio: Re < 5 X (10^5)

(Subscript[Re, x])=(((Subscript[ρU, ∞])(Subscript[x, c]))/μ)=5*(10^5)

EL PRANDTL

Grid[{{Style["RANGO DEL NUMERO DE PRANT EN FLUIDOS COMUNES",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Grid[{{Style["Fluidos",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["Pr",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Metales liquidos",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["0.004-0.030",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Gases",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["0.19-1.0",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Agua",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["1.19-13.7",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Fluidos organicos ligeros",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["5-50",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Aceites",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["50-100,000",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Glicerina",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["2,000-100,000",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]}}]

Pr=(((Subscript[C, p])μ)/k)

Un Prandtl pequeño quiere decir que la transferencia de calor por conducción es más importante que la viscosidad. 

Un Prandtl grande significa que las fuerzas de viscosidad son más importantes que la conductividad.

El Nu y en función del Re y el Pr (Temperatura constante.)

En el  caso laminar es posible resolver exactamente las ecuaciones de ttransporte. 
La solución puede expresarse como:

(Subscript[Nu, x])=(((Subscript[h, x])X)/k)=0.332((Subscript[Re, x])^0.5)(Pr^(1/3))     (Pr>0.6)

En el caso turbulento puede construirse experimentalmente  la correlación:

(Subscript[Nu, x])=(((Subscript[h, x])X)/k)=0.0296((Subscript[Re, x])^0.8)(Pr^(1/3))     (0.6<Pr<60)

h local y promedio

El valor de h puede variar a lo largo de la placa. Distinguimos (Subscript[h, local]) de h

h=(1/(Subscript[A, s]))∫(Subscript[h, local])d(Subscript[A, s])
h=(∫_0^L)(Subscript[h, x])dx

hlocal1=;
hlocal2=;
Grid[{{hlocal1,"",hlocal2}}]

Nusselt promedio sobre L.

Laminar  Nu=(hL/k)=0.664(Re^0.5)(Pr^(1/3))   (Re<5*(10^5))

Turbulento  Nu=(hL/k)=0.0337(Re^0.8)(Pr^(1/3))   (0.6<Pr<60)

Promedio  Nu=(hL/k)=(0.037(Re^0.8)-871)(Pr^(1/3))   (0.6<Pr<60,5*(10^5)Re<(10^7))

OTRAS CORRELACIONES

Los metales líquidos tienen números de Pr pequeños, lo que quiere decir que la capa límite térmica se desarrolla mucho más rápido que la hidrodinámica.
Es decir podemos suponer la velocidad del fluido constante e igual a (Subscript[u, ∞])

Resolviendo la ecuación de energía obtenemos, entonces:

(Subscript[Nu, x])=(((Subscript[h, x])X)/k)=(((0.565RePr))^(1/2))    (Pr<0.05)

Churchill y Ozoe propusieron una correlación universal para todos los fluidos para cualquier número de Prandtl

(Subscript[Nu, x])=(((Subscript[h, x])X)/k)=((0.3387(Re^(1/2))(Pr^(1/3)))/(([1+0.0468(Pr^(2/3))])^(1/4)))

Placa con Flujo Uniforme de calor.

Laminar:

(Subscript[Nu, x])=(((Subscript[h, x])X)/k)=0.453(Re^0.5)(Pr^(1/3))

Turbulento:

(Subscript[Nu, x])=(((Subscript[h, x])X)/k)=0.0308(Re^0.8)(Pr^(1/3))

Todos estos casos suponen un flujo unidimensional. Otras correlaciones deberán en el caso de flujos bi y tridimensional emplearseles.

EJEMPLO 1

Para deshielar el parabrisas de un coche, se hace circular aire caliente en su superficie interior. ¿Cuál sería el valor de h necesario para que el hielo empiece a fundirse, si se consideran los siguientes datos:

Grid[{{Style["Conductividad de Parabrisas",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["(Subscript[K, p])=2.4W/mK",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Altura del parabrisas",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["H=0.5m",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Espesor del pararisas",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["W=0.005m",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Temperatura exterior",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["(Subscript[T, 0])=-20C",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Temperatura dentro del auto",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["(Subscript[T, 0])=25C",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Temperatura en la superficie del parabrisas",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["(Subscript[T, 0])=0C",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Conductividad del aire",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["(Subscript[K, a])=0.02288W/mk",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Viscosidad cinematica del aire",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["γ=1.252*(10^(-5))(m^2)/s",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Prandtl del aire",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["Pr=7387",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]

SUPOSICIONES Y DIAGRAMA

•	Las condiciones de operación son estacionarias.

•	La transferencia de calor a través del parabrisas es unidimensional.

•	Las propiedades térmicas son constantes

•	No existe transferencia de calor por radiación

•	La presión del aire fuera es de 1 atm

•	El número de Reynolds crítico es 5 X (10^5).

Solucion

Calculando el Re

(Subscript[Re, L])=(vL/⋁)=(((80/3.60m/s)(0.5m))/((1.252*(10^(-5))(m^2)/s)))=8.875*(10^(-5))

Como  el Re es mayor que 5  x (10^5) y menor que (10^7) corresponde usar:

(Subscript[Nu, x])=(((Subscript[h, x])L)/k)=0.037(Re^0.8)(Pr^(1/3))=(0.037)(((8.875*(10^(-5))))^0.8)(((0.738))^(1/3))

(Subscript[h, x])=1131(k/L)=1131((2.0288W/mK)/(0.5m))=51.75W/(m^2)k

Haciendo un balance de la energía que cruza el parabrisas:

(((Subscript[T, ∞,0])-(Subscript[T, s,0]))/(1/(Subscript[h, x])))(Subscript[u, x])=(((Subscript[T, s,0])-(Subscript[T, ∞,i]))/(t/kw+1/(Subscript[h, i])))

Despejando hi y sustituyendo los valores numéricos:

(Subscript[h, i])=((((1/(Subscript[h, x]))(((Subscript[T, s,0])-(Subscript[T, ∞,i]))/((Subscript[T, ∞,0])-(Subscript[T, s,0])))-(1/kw)))^(-1))=((((1/(51.75W/(m^2)k))((0C-25C)/(-20C-0C))-(0.005/(1.4W/mk))))^(-1))

ACTIVIDADES

Repetir el ejercicio de ejemplo variando a)los valores de las temperaturas y b) el espesor del parabrisas.

FLUJO SOBRE CILINDROS Y ESFERAS

fluj1=;
fluj2=;
Grid[{{Grid[{{fluj1},{Grid[{{Style["Movimiento complicado de analizar analíticamente.",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Las constantes físicas como k o µ que dependen de la temperatura, se calculan en la Temperatura de película",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["(Subscript[T, f])=(1/2)((Subscript[T, ∞])-(Subscript[T, s]))",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]}}],fluj2}}]

Repetir el ejercicio de ejemplo variando a)los valores de las temperaturas y b) el espesor del parabrisas.

Nussel promedio para el cilindro

Churchill y Bernstein

(Subscript[Nu, cilindro])=(hD/k)=0.3+((((0.62(Re^(1/2))(Pr^(1/3)))/(([1+(0.04/(Pr^(2/3)))])^(1/4)))[1+((((Re/282000)))^(5/8))])^(4/5))         RePr>0.2

De manera genérica (Hilpert)

(Subscript[Nu, cilindro])=(hD/k)=(Cre^m)(Pr^n)   n=1/3

0.4<Reρ<4·105
Pr>0.6

Grid[{{Style["(Subscript[Re, D])",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["C",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["m",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["0.4-4",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["0.989",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["0.330",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["4-40",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["0.911",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["0.385",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["40-4000",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["0.683",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["0.466",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["4000-40000",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["0.193",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["0.618",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["40000",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["0.027",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["0.805",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]

En cada caso verificar cómo se construyeron las correlaciones y su intervalo de validez (entender el significado de los parámetros)

muñe=;
corre=;
Grid[{{muñe,corre}}]

SOLUCIÓN

Este problema es idéntico al de una placa de espesor L, que puede ser resuelto con las técnicas ya estudiadas anteriormente y cuya solución es:

R((Subscript[β, m])r)=(Subscript[β, m])(Subscript[cosβ, m])(r-a)+(Subscript[K, 1])sin (Subscript[β, m])(r-a)

Con

(Subscript[K, 1])=(Subscript[H, 1])+1/ϵ

Con

tan (Subscript[β, m])(b-a)=(((Subscript[β, m])((Subscript[k, 1])+(Subscript[k, 2])))/(((Subscript[β, m])^2)-(Subscript[k, 1])(Subscript[k, 2])))

CÁLCULO DE h POR EL MÉTODO GRÁFICO

fluj2=;
Grid[{{Grid[{{Style["El procedimiento para calcular h es:",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Calcular el Reynolds, según los datos del problema.",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Ir a la gráfica y leer el valor de JH (factor de Colburn)",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Con el resto de los datos del problema calcular h.",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Conocido h podemos calcular q por la ley de enfriamiento",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}],fluj2}}]

TUBOS NO CILÍNDRICOS

ESFERA SUMERGIDA: CONVECCIÓN FORZADA

(Subscript[Nu, sph])=(hD/k)=2+[0.4(Re^(1/2))+0.06(Re^(2/3))](Pr^0.4)(((((Subscript[μ, ∞])/(Subscript[μ, s]))))^(1/4))

Correlación:  3.5<Re<80.000   y    0.7 <Pr<380

Las propiedades físicas son evaluadas todas en (Subscript[T, ∞]) excepto (Subscript[μ, s])

Gráfica

RESUMEN DE CORRELACIONES PARA CONVECCIÓN FORZADA ALREDEDOR DE OBJETOS SUMERGIDOS

Framed[Module[{G1,G2},
Manipulate[

G1=LogLogPlot[0.555*(Ra)^(1/4),{Ra,100000,10^11},PlotRange->{{(10^5),(10^15)},{10,(10^4)}},Frame->True,ImageSize->{800,600},PlotStyle->{Orange},GridLines->Automatic,FrameLabel->{Style["Gr*Pr",Bold,15],Style["Nu_L",Bold,15]}];
G2=LogLogPlot[0.0210*(((Ra))^(2/5)),{Ra,(10^8),(10^15)},PlotRange->{{(10^8),(10^15)},{10,(10^4)}},Frame->True,ImageSize->{800,600},PlotStyle->{Green},GridLines->Automatic,FrameLabel->{Style["Gr*Pr",Bold,15],Style["Nu_L",Bold,15]}];

Show[G1,G2,Graphics[{
Text[Style[{m2,0.0210*(((m2))^(2/5))},Bold,13],{Log[(10^13.5)],Log[750]}],
Text[Style["Cilindro vertical",Bold,14],{Log[(10^13.5)],Log[500]}],
Text[Style["Región laminar",Bold,14],{Log[(10^6.5)],Log[500]}],
Text[Style["Región de transición",Bold,14],{Log[(10^9)],Log[500]}],
Text[Style["Región turbulenta",Bold,14],{Log[(10^12)],Log[100]}],
{PointSize[.01],Point[{Log[m2],Log[0.0210*(((m2))^(2/5))]}]},
Text[Style[{m,0.555*(((m))^(1/4))},Bold,13],{Log[(10^6.5)],Log[100]}],
Text[Style["Placa",Bold,14],{Log[(10^6.5)],Log[70]}],
Line[{{Log[(10^8)],Log[10]},{Log[(10^8)],Log[(10^4)]}}],
Line[{{Log[(10^10)],Log[10]},{Log[(10^10)],Log[(10^4)]}}],
Line[{{Log[(10^8)],Log[10]},{Log[(10^8)],Log[(10^4)]}}],
{PointSize[.01],Point[{Log[m],Log[0.555*(((m))^(1/4))]}]}}]
],
TextCell[Text[Style[
"             Transferencia de calor por convección natural de plcas y cilindros verticales
               ",
   Bold,18]]],
{{m,100000, "Placa" },100000,10^11},
{{m2,10^8, "Cilindro"},10^8,10^15}]],Background->GrayLevel[0.85],RoundingRadius->8]

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE110517