REPASO DE LA UNIDAD 3
CONDUCCIÓN EN ESTADO NO ESTACIONARIO.

Resumen de la unidad.

En esta parte del curso nos hemos ocupado de entender y resolver problemas relativos a la evolución temporal de los perfiles de temperatura en diferentes geometrías y bajo distintas condiciones.

El caso más sencillo ocurre cuando los gradientes de temperatura pueden considerarse como inexistentes. La validez de esta suposición la da el número de Biot.

En el caso en que está hipótesis no sea aceptable debe resolverse la ecuación de difusión

Existen varios métodos para resolver la ecuación de difusión. En el curso vimos los métodos analíticos (a pie), analíticos con Mathematica, usando gráficas y Excel.

En todos los casos debe tenerse cuidado en que el problema físico este bien entendido y planteado en términos de las condiciones de frontera correctas.

El método gráfico puede usarse, combinando las soluciones de distintos casos, para resolver problemas multidimensionales.

CONCEPTOS

No estacionario

Geometría

Condiciones a la frontera.

Eigen valor

Eigen función

•Eigen valor

Temperatura

Flujo

Constante.

Cero

Convectivo

¿QUÉ ESPERAMOS QUE SEPAN/PUEDAN HACER?

Distinguir cuando se trata de un problema de transferencia de energía dependiente del tiempo.

Distinguir si se puede o no hacer una aproximación 
de gradiente cero

Distinguir de que tipo de geometría se trata.

Saber establecer las condiciones de frontera en términos matemáticos. (Temperatura, Flujo)

Seleccionar un método de solución (gráfico, analítico, numérico…).

Operar el método seleccionado para obtener la solución del problema planteado.

No estrictamente parte del curso…

…Pero muy útil
Interpretar los problemas de Ingeniería Química Metalúrgica en términos de problemas de transferencia de calor.

Procesos metalúrgicos (acero)

El transporte de energía por conducción en estado inestable es importante en varios procesos relacionados con el acero:

Fusión de la carga en un horno eléctrico de arco

Solidificación de acero líquido en un molde estático

Colada continua de acero líquido

Laminación de palanquillas de acero

Tratamiento térmico de un componente de acero

Soldadura de componentes de acero

Tratamientos térmicos

Tratamiento térmico:Variaciones controladas de temperatura a las que se somete una aleación sólida para modificar su estructura micrográfica y consecuentemente sus propiedades físicas,sin que cambie la composición química de la aleación.

VARIACIÓN DE LOS COEFICIENTES DE TRANSPORTE

•	Los coeficientes de transporte, como la  viscosidad de los líquidos y de los gases o la conductividad de los metales y los no metales, varían:

•	De un material a otro. La cantidad transportada (flux) para un mismo gradiente depende del material, es decir de su coeficiente de transporte.

•	Para un mismo material, con la temperatura.

TEMAS

Transferencia de energía en estado no estacionario sin gradientes de temperatura.

Transferencia de energía en estado no estacionario con gradientes de temperatura.

Coordenadas cartesianas

Coordenadas no cartesianas

Cilíndricas

Esféricas

Otras

Evolución temporal del perfil de temperaturas.
Cuando no hay gradiente de temperaturas

Esfera metálica, cilindro, otras geometrías.

El criterio es el Bi<0.1

Evolución temporal del perfil de temperaturas.
Con gradiente de temperaturas.

Coordenadas Rectangulares

Placa de espesor finito (2H)

Sólido semiinfinito

Coordenadas Cilíndricas.

Con transferencia de calor

Sin Transferencia de calor

Otras coordenadas

EVOLUCIÓN TEMPORAL DEL PERFIL DE TEMPERATURAS

per1=;
per2=;
per3=;
Grid[{{per1,per2,per3}}]

SIN GRADIENTE

hA((Subscript[T, ∞])-T)dt=(Subscript[C, p])ρVdT
((T-(Subscript[T, ∞]))/((Subscript[T, 0])-(Subscript[T, ∞])))=(e^(-(hA/(Subscript[C, p])ρV)t))
Con la condición:
(Subscript[N, Bi])=((Subscript[hx, 1])/k)<0.1
Condiciones a la frontera y geometría.
Las “condiciones a la frontera” son la ecuación de balance
La geometría entra en el (Subscript[N, Bi])

CON GRADIENTE

La ecuación de difusión describe la conducción de calor en estado no estacionario,cuando no hay fuentes internas de generación de calor.
((∂T)/(∂t))=α(∇^2)T
Donde α,la difusividad térmica,es el cociente k/ρCp
En una dimensión se simplifica a:
((∂T)/(∂t))=α(((∂^2)T)/(∂(x^2)))

GEOMETRÍA Y CONDICIONES A LA FRONTERA

Esta ecuación representa una gran familia de fenómenos,para aplicarla a la solución de un caso particular es necesario fijar la geometría y las condiciones de frontera que lo describen.
En una dimensión toma la forma:

Grid[{{Style["Cartesianas",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["(∇^2)f=(((∂^2)f)/(∂(x^2)))",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Cilindricas",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["(∇^2)f=(1/ρ)(∂/(∂ρ))(ρ((∂f)/(∂ρ)))",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Esféricas",FontFamily->"Comic Sans MS",16]
,Style["(∇^2)f=(1/(r^2))(∂/(∂r))((r^2)((∂f)/(∂r)))",FontFamily->"Comic Sans MS",16]
}},Background->{None,{RGBColor["#d0d8e8"],RGBColor["#e9edf4"],RGBColor["#d0d8e8"]}}]

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN

Grid[{{Style["MÉTODO",FontFamily->"Comic Sans MS",18,Bold],Style["DESVENTAJAS",FontFamily->"Comic Sans MS",18,Bold],Style["VENTAJAS",FontFamily->"Comic Sans MS",18,Bold]},
{},
{Style["Analítico
Separación de variables. “A pie”",FontFamily->"Comic Sans MS",15],Style["Sólo aplica a unas pocas geometrías simples.",FontFamily->"Comic Sans MS",15],Style["Es “exacto”",FontFamily->"Comic Sans MS",15]},
{},
{Style["Analítico computacional.
Mathematica
Maple",FontFamily->"Comic Sans MS",15],Style["Requiere una infraestructura de cómputo.",FontFamily->"Comic Sans MS",15],Style["Es un método análitico",FontFamily->"Comic Sans MS",15]},
{},
{Style["Numérico: Diferencias finitas y elemento finito.",FontFamily->"Comic Sans MS",15],Style["Como usuarios se procede “a ciegas” o bien hay que aprender métodos numéricos y a programar.",FontFamily->"Comic Sans MS",15],Style["Existen muchos códigos libres ya programados (Fortran, C, etc.) para los principales casos.",FontFamily->"Comic Sans MS",15]},
{},
{Style["Tablas y gráficas.(Geankoplis, Bird, Kreith…)",FontFamily->"Comic Sans MS",15],Style["No son muy precisas. Hay que encontrar la que corresponde al caso particular.",FontFamily->"Comic Sans MS",15],Style["Son muy accesibles Prácticamente no hay que hacer cálculos",FontFamily->"Comic Sans MS",15]},
{},
{Style["Excel",FontFamily->"Comic Sans MS",15],Style["No es un método de cálculo.",FontFamily->"Comic Sans MS",15],Grid[{{Style["Permite programar el algoritmo de diferencias o elemento finito.",FontFamily->"Comic Sans MS",15]},{Style["Permite graficar soluciones obtenidas analíticamente.",FontFamily->"Comic Sans MS",15]}}]}
},Background->{{RGBColor["#d0d8e8"],RGBColor["#e9edf4"],RGBColor["#d0d8e8"]},None}]

Analítico «A PIE». Cartesianas (Placa de espesor finito)

prisma=;
Grid[{{prisma,Grid[{{Style["La solución es una suma de funciones trigonométricas, multiplicadas por una exponencial:",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["(((Subscript[T, 1]) - T)/((Subscript[T, 1]) - (Subscript[T, 0])))=(4/π)((1/1)exp[((-(1^2) (π^2) αt)/(4 (H^2)))]Sin[((1  πx)/(2  H))]+(1/3)exp[((-(3^2) (π^2) αt)/(4 (H^2)))]Sin[((3  πx)/(2  H))]+(1/5)exp[((-(5^2) (π^2) αt)/(4 (H^2)))]Sin[((5  πx)/(2  H))]+...)",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["Mientras más sumandos se tomen, mejor aproximación",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["Los valores de los eigenvalores y los coeficientes de las funciones se obtienen a partir de las condiciones a la frontera e iniciales.",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Grid[{{Style["((∂T)/(∂t))=α(((∂^2)T)/(∂(x^2)))",FontFamily->"Comic Sans MS",16],"",Style["α=k/(Subscript[ρC, p])",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]}}]}}]

ANALÍTICO «A PIE» General

apie=;
Grid[{{Grid[{{Style["Una ecuación en derivadas parciales de 2do orden se transformó en un sistema de dos ecuaciones ordinarias",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["La ecuación temporal debe cumplir las condiciones iniciales",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["La ecuación espacial debe cumplir las condiciones de frontera",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Existe un número infinito de valores de λ para los que se cumplen las condiciones de frontera",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Cada uno de esos valores se llama valor propio (Eigenvalor) y se denota (Subscript[λ, n])",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Existe un número infinito de funciones que son solución de la ecuación espacial (Eigenfunciones) y se denota por (Subscript[X, n])(x)",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Cada una de las eigen funciones (Subscript[X, n])(x) está asociada a un eigen valor (Subscript[λ, n])",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Existe por lo tanto un número infinito de productos (Subscript[X, n])(x)(Subscript[τ, n])(t) que son soluciones de la ecuación de difusión.",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Grid[{{Style["La solución general es la suma infinita de todos los productos (Subscript[X, n])(x)(Subscript[τ, n])(t) multiplicados por una constante.",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["T(x,t)=(Subscript[ΣC, n])(Subscript[X, n])(x)(Subscript[τ, n])(t)",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]},{Style["La solución particular se obtiene calculando (Subscript[C, n]) partir de las condiciones iniciales
",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}},Background->{None,{RGBColor["#d0d8e8"],RGBColor["#e9edf4"],RGBColor["#d0d8e8"],RGBColor["#e9edf4"],RGBColor["#d0d8e8"],RGBColor["#e9edf4"],RGBColor["#d0d8e8"],RGBColor["#e9edf4"],RGBColor["#d0d8e8"],RGBColor["#e9edf4"]}}],apie}}]

ANALÍTICO «A PIE». GEOMETRÍA CILÍNDRICA

apiecil=;
Grid[{{Grid[{{Style["a) La frontera pierde calor por convección",16]},{Style["b) La frontera se considera aislada",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Grid[{{Style["La solución es una suma de funciones propias (funciones de Bessel), multiplicadas por una exponencial.",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["T(r,t) = (∑_(m = 1)^∞) (Subscript[C, m]) \!\(\*SuperscriptBox[\(e\), \(\(-α\)\\ \*SuperscriptBox[SubscriptBox[\(β\), \(m\)], \(2\)]\\ t\)]\) (Subscript[R, 0])((Subscript[β, m])R)",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]},{Grid[{{Style["Los valores de los Eigenvalores y los coeficientes de las funciones se obtienen a partir de  las condiciones a la frontera e iniciales.",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["(Subscript[C, m]) = (∫_0^b)r (Subscript[R, r])((Subscript[β, m])r)F(r)\[DifferentialD]r",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]},{Style["Donde N((Subscript[β, m]))=(∫_0^b)r ((Subscript[R, r])^2)((Subscript[β, m])r)\[DifferentialD]r",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Grid[{{Style["Sustituyendo",16]},{Style["((2 (Subscript[hT, 0]))/b)(∑_(m = 1)^∞) \!\(\*SuperscriptBox[\(e\), \(\(-α\)\\ \*SuperscriptBox[SubscriptBox[\(β\), \(m\)], \(2\)]\\ t\)]\) (((Subscript[J, 0]) ((Subscript[β, m]) r))/((((Subscript[β, m])^2) + (h^2)) (Subscript[J, 0]) ((Subscript[β, m]) b)))",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]}},Background->{None,{RGBColor["#d0d8e8"],RGBColor["#e9edf4"],RGBColor["#d0d8e8"],RGBColor["#e9edf4"],RGBColor["#d0d8e8"],RGBColor["#e9edf4"],RGBColor["#d0d8e8"],RGBColor["#e9edf4"],RGBColor["#d0d8e8"],RGBColor["#e9edf4"]}}],apiecil}}]

RELACIÓN CONDICIONES DE FRONTERA/SOLUCIONES

cilcon=;
Grid[{{Style["La función (Subscript[R, v])((Subscript[β, m]),r), la norma N((Subscript[β, m])), y los valores (Subscript[β, m]) de la ecuación diferencial.

Sujeto a las condiciones límite
",FontFamily->"Comic Sans MS",16],cilcon}}]

Grid[{{Style["No",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["Condiciones limite de r=b",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["(Subscript[R, y])((Subscript[β, m])r)",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["(1/(N ((Subscript[β, m]))))",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["Valores propios (Subscript[β, m]) resultados posibles de"
,FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["1",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["\!\(\*FractionBox[\(d\\ \*SubscriptBox[\(R\), \(v\)]\), \(dr\)]\)+(Subscript[hR, v])=0",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["(Subscript[J, v])((Subscript[β, m])r)
",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["(2/(((Subscript[J, v])^2) ((Subscript[β, m]) b)))*(((Subscript[β, m])^2)/((b^2) ((h^2) + ((Subscript[β, m])^2)) - (y^2)))",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["(Subscript[β, m])(Subscript[J, v])´((Subscript[β, m])b)+(Subscript[hJ, v])((Subscript[β, m])b)=0"
,FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["2",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["\!\(\*FractionBox[\(d\\ \*SubscriptBox[\(R\), \(v\)]\), \(dr\)]\)=0",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["(Subscript[J, v])((Subscript[β, m])r)*",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["(2/(((Subscript[J, v])^2) ((Subscript[β, m]) b)))*(((Subscript[β, m])^2)/((b^2) ((Subscript[β, m])^2) - (y^2)))",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["(Subscript[β, m])(Subscript[J, v])´((Subscript[β, m])b)=0"
,FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["3",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["(Subscript[R, v])=0",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["(Subscript[J, v])((Subscript[β, m])r)",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["(2/(((Subscript[J, v])^2) ((Subscript[β, m]) b)))",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["(Subscript[J, v])((Subscript[β, m])b)=0"
,FontFamily->"Comic Sans MS",16]}},Background->{None,{RGBColor["#4e81bd"],RGBColor["#d0d8e8"],RGBColor["#e9edf4"],RGBColor["#d0d8e8"]}}]

EJEMPLO
Convección en la frontera

Para la condición de frontera

((Subscript[dR, y])/dr)+(Subscript[hR, y])=0

los índices (Subscript[β, m]) de las funciones de Bessel se obtienen al resolver la ecuación:

(Subscript[β, m])(Subscript[J´, r])((Subscript[β, m])b)+(Subscript[hJ, r])((Subscript[β, m])b)=0

los índices (Subscript[β, m]) de las funciones de Bessel se obtienen al resolver la ecuación:

Los valores de (Subscript[β, m]) dependen del radio b y del coeficiente de transferencia de calor h

EJEMPLO

•	A diferencia de los índices de las funciones trigonométricas, las (Subscript[β, m]) no siempre son enteros.

•	Otra condición a la frontera diferente, implica resolver una ecuación distinta para encontrar las (Subscript[β, m])

NUMÉRICO. ABAQUS

Da clic en la imagen

Button[Style[,"Hyperlink"],NotebookLocate[{URL["https://onedrive.live.com/?authkey=!AMZMy9Evl2q0Kzo&id=7EDB1EC9396CB4A3!4111&cid=7EDB1EC9396CB4A3"],None}],Appearance->None]

Cortesia: DR. BERNARDO HERNÁNDEZ MORALES
Departamento de Ingeniería metalúrgica 
Facultad de Química UNAM

USO DE GRÁFICAS
(sólido semi infinito)

usograf=;
usograf1=;
Grid[{{Grid[{{Style["La solución analítica es:",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["((T-(Subscript[T, 0]))/((Subscript[T, 1])-(Subscript[T, 0]))) = 1-Y = erfc((x/(2(Sqrt[αt])))) - exp[((h(Sqrt[αt]))/k)((x/(Sqrt[αt]))+((h(Sqrt[αt]))/k))] erfc((x/(2(Sqrt[αt])))+((h(Sqrt[α t]))/k))",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}],usograf1},{Style["Se construyen gráficas con base en números adimensionales",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{usograf,Grid[{{Style["En clase se analizaron cuatro casos diferentes de condiciones a la frontera.",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["No existen todas las gráficas hay que interpolar",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]}}]

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN EN SISTEMAS MULTIDIMENSIONALES

cili1=;
cili2=;
Grid[{{cili1,Style["Las solucionese problemas en una dimensión pueden usarse para construir soluciones de problemas de dos y tres dimensiones, usando un método de superposición multiplicativa",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{cili2,Style["Siempre y cuando el sólido no genere calor internamente, todas sus superficies estén expuestas al transporte convectivo del mismo fluido, a la misma temperatura y con el mismo coeficiente de transporte convectivo h",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]

SOLUCIÓN GENERALIZADA

La solución puede generalizarse de la siguiente manera:

la solución para una geometría multidimensional es el producto  de las soluciones de las geometrías uni-dimensionales cuya intersección forma el cuerpo multidimensional.

Por conveniencia las soluciones uni-dimensionales se denotan así:

(Subscript[θ, muro])(x,t)=(((T(x,t)-(Subscript[T, ∞]))/((Subscript[T, i])-(Subscript[T, ∞]))))

(Subscript[θ, cyl])(r,t)=(((T(r,t)-(Subscript[T, ∞]))/((Subscript[T, i])-(Subscript[T, ∞]))))

(Subscript[θ, semi-inf])(x,t)=(((T(x,t)-(Subscript[T, ∞]))/((Subscript[T, i])-(Subscript[T, ∞]))))

CILINDRO CORTO

EJEMPLO

Un cilindro de 8.0 cm de diámetro exterior y 12 cm de longitud que se encuentra a una temperatura de 270 C se coloca en un ambiente convectivo (h = 410 W/(m^2)K) a 50 C. Las propiedades del metal del que está hecho el cilindro son α = 0.048 (m^2) /hr  y k = 39 W/m K.
Determine la temperatura en el centro del cilindro después de 5 minutos.

LEY DE WIEDEMANN-FRANZ

La conductividad térmica está relacionada con la conductividad eléctrica a través de la ley de Wiedemann- Franz.

(k/σ)=LT
k=Conductividad termica
L=Numero de Lorenz=22-29*(10^(-9))(Volts^2)(K^2)
σ=Conductividad electrica

SOLUCIÓN

La solución de este caso multidimensional será el producto de las soluciones de un cilindro infinitamente largo y una placa (slab). Las siguientes láminas muestran la solución para estos dos casos:

Para el cilindro largo

cillar=;
Grid[{{Grid[{{Grid[{{Style["(Subscript[B, 1])=((Subscript[hr, 0])/(2  k))",FontFamily->"Comic Sans MS",16],"   ",Style["(Subscript[F, 0])=((ατ)/((Subscript[r, 0])^2))",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["=(((410) (0.04))/(2 (39)))",FontFamily->"Comic Sans MS",16],"   ",Style["=(((0.048) (0.0833))/(0.04^2))",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["=0.21",FontFamily->"Comic Sans MS",16],"   ",Style["=2.5",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["(1/(2 (Subscript[B, 1])))=(1/(2 (0.21)))=2.38",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{}}]},{Style["((T (0, τ) - (Subscript[T, ∞]))/((Subscript[T, 0]) - (Subscript[T, ∞])))=0.145",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}],cillar}}]

Para la placa de espesor 2L

placaespe=;
Grid[{{Grid[{{Grid[{{Style["(Subscript[B, 1])=(hL/k)",FontFamily->"Comic Sans MS",16],"   ",Style["(Subscript[F, 0])=(hL/k)",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["=(((410) (0.06))/39)",FontFamily->"Comic Sans MS",16],"   ",Style["=(((0.048) (0.0833))/(0.06^2))",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["=0.6307",FontFamily->"Comic Sans MS",16],"   ",Style["=1.11",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["(1/(Subscript[B, 1]))=(1/0.631)=1.585",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{}}]},{Style["Por ατ/(L^2)=1.11 y (1/(Subscript[B, 1]))=1.585",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["S(0,τ)=((T (0, τ) - (Subscript[T, ∞]))/((Subscript[T, 0]) - (Subscript[T, ∞])))",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}],placaespe}}]

Combinando las soluciones

Grid[{{Style["((T (0, 0, τ) - (Subscript[T, ∞]))/((Subscript[T, 0]) - (Subscript[T, ∞])))=C(0,τ)S(0,τ)",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["((T (0, 0, τ) - (Subscript[T, ∞]))/((Subscript[T, 0]) - (Subscript[T, ∞])))=(0.145)(0.61)",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["=0.088",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]

EJEMPLO DE SOLUCIÓN ANALÍTICA CON MATHEMATICA: CONDUCCIÓN DE CALOR EN UNA PLACA BIDIMENSIONAL

Considere la ecuación:
((∂T)/(∂t))=α((((∂^2)T)/(∂(x^2)))+(((∂^2)T)/(∂(y^2))))
Con las siguientes condiciones de frontera e iniciales
T(0,y,t)=(Subscript[0, t])
T(1,y,t)=(Subscript[0, t])
T(x,1,t)=(Subscript[0, t])
T(x,0,t)=(Subscript[10, t])
T(x,y,0)=(Subscript[0, t])

Framed[Manipulate[
Module[{plt,tbl3,tbl4,sol,T,tbl},
tbl=(A.Table[T[k][t],{k,1,Nx Nx}])-b;sol=NDSolve[Flatten[{Table[1/alpha 1/(Nx+1)^2 T[k]'[t]== tbl[[k]],{k,1,Nx Nx}],Table[T[k][0]== 0,{k,1,Nx Nx}]}],Table[T[k],{k,1,Nx Nx}],{t,0,100}];tbl3=Table[Join[{{0,j/(Nx+1),0}},Table[{i/(Nx+1),j/(Nx+1),T[i+(j-1) Nx][t]/.sol/.t-> time//First},{i,1,Nx}],{{1,j/(Nx+1),0}}],{j,1,Nx}]//N;tbl4=Join[Table[{i/(Nx+1),0,10},{i,0,Nx+1}],Flatten[tbl3,1],Table[{i/(Nx+1),1,0},{i,0,Nx+1}]]//N;plt=ListContourPlot[tbl4,ColorFunction-> "Pastel",Contours-> 20,ContourLabels-> All,ImageSize-> 450{1,1}]],{{time,0.02,"tiempo"},0.02,0.3,0.001,Appearance-> "Labeled"},{{alpha,1,"difusividad térmica"},0.1,3,0.1,Appearance-> "Labeled"},
SynchronousInitialization->False,
Initialization:> (
Nx=25;
Ny=25;A=SparseArray[{{i_, i_}->-4.,{i_,j_}/;((i-j )==1&&Mod[j,Nx]≠ 0)->1.,{i_,j_}/;(i-j==-1&& Mod[i,Nx]≠ 0)-> 1.,{i_,j_}/;(i-j== Nx )->1. ,{i_,j_}/;j-i== Nx-> 1.},{Nx Nx,Nx Nx}];b=SparseArray[{{i_}/;(1≤  i≤  Nx)->-10},{Nx Nx}])],RoundingRadius->5,Background->LightGray]

ECUACIÓN DE DIFUSIÓN EN COORDENADAS ESFÉRICAS

esfever=;
Grid[{{Grid[{{Style["((∂T)/(∂t))=α(∇^2)t",FontFamily->"Comic Sans MS",16],"   ",Style["<<Misma>> ecuacion pero en geometria esferica",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]},{Style["(((∂^2)T)/(∂(r^2)))+(2/r)((∂T)/(∂r))+(1/((r^2) sin2θ))(sinθ ((∂r)/(∂θ)))+(1/((r^2) (sin^2) θ))(((∂^2)T)/(∂(θ^2)))=(1/α)((∂T)/(∂t))",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Grid[{{Grid[{{Style["Condiciones a la frontera",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["a)La frontera pierde calor por conveccion",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["b)La frontera se considera aislada",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}],esfever}}]}}]

PRIMER CAMBIO DE VARIABLE

Con el cambio de variable

μ=cosθ

v=(r^(1/2))T

La ecuación se transforma en:

(((∂^2)V)/(∂(r^2)))+(1/r)((∂V)/(∂r))-(1/4)(V/(r^2))+(1/(r^2))(∂/(∂μ))[(1-(μ^2))((∂V)/(∂μ))]+(1/((r^2)(1-(μ^2))))(((∂^2)V)/(∂(Φ^2)))=(1/α)((∂V)/(∂t))

Al separar las variables, habrá tres  ecuaciones espaciales,  una para cada coordenada. Y otra más para la coordenada temporal

ECUACIONES SEPARADAS EN COORDENADAS ESFÉRICAS

Grid[{{Style["Nombre",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["Ecuacion",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["Soluciones",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["(((∂^2)Φ (ϕ))/(∂(Φ^2)))+(m^2)Φ(ϕ)=0",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Grid[{{},{Style["Φ(ψ)=Sen(mψ)",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["Φ(ψ)=Cos(mψ)",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]},{Style["BESSEL",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["(((d^2) R)/(dr^2))+(1/r)(dR/dr)+[(λ^2)-(n+(1/2))^2(1/(r^2))]R=0",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Grid[{{},{Style["R(r)=(Subscript[J, n + 1/2])((Subscript[λ, r]))",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["R(r)=(Subscript[Y, n + 1/2])((Subscript[λ, r]))",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]},{Style["ASOCIADA DE LEGENDRE",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["(d/(dμ))[(1-(μ^2))(dm/(dμ))]+[n(n+1)-((m^2)/(1 - (μ^2)))]M=0",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Grid[{{},{Style["M(μ)=((Subscript[P, m])^m)(μ))",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{},{Style["M(μ)=((Subscript[Q, m])^m)(μ)",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]},{Style["TEMPORAL",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["((dΓ (t))/dt)+((αλ)^2)Γ(t)=0",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Grid[{{},{Style["Γ(t)=(e^(-((αλ)^2) t))",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]}},Background->{None,{RGBColor["#4e81bd"],RGBColor["#d0d8e8"],RGBColor["#e9edf4"],RGBColor["#d0d8e8"],RGBColor["#e9edf4"]}}]

Solución de la ecuación

Grid[{{Style["Usando la transformación:",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["U(r,t)=rT(r,t)",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["La ecuación toma la forma:",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["(((∂^2)U)/(∂(r^2)))+((rg (r))/k)=(1/α)((∂U)/(∂t))",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["a<r<b,  t>0",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["Con las condiciones a la frontera:",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Grid[{{Style["-((∂U)/(∂r))+((Subscript[h, 1])+(1/a))U=(Subscript[af, 1])",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["((∂U)/(∂r))+((Subscript[h, 2])+(1/b))U=(Subscript[af, 2])",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}],Grid[{{Style["r=a,  t>0",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["r=b,  t>0",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]},{Style["e inicial",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["U=rF(r)",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["t=0,  a<r<b",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}},Background->{None,{RGBColor["#d0d8e8"],RGBColor["#e9edf4"],RGBColor["#d0d8e8"],RGBColor["#e9edf4"]}}]

NUEVO CAMBIO DE VARIABLE

Grid[{{Style["Realizamos un nuevo cambio de variable",FontFamily->"Comic Sans MS",16],Style["x=r-a",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]

Grid[{{Style["Realizamos un nuevo cambio de variable",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Grid[{{Style["(((∂^2)U)/(∂(r^2)))+(((a + x) g (x + a))/k)=(1/α)((∂U)/(∂t))",FontFamily->"Comic Sans MS",16],"  ",Style["0<x<L,  t>0",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]}}]

Grid[{{Style["y las condiciones a la Frontera e inicial son:",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Grid[{{Style["-((∂U)/(∂r))+(Subscript[K, 1])U=(Subscript[af, 1])",FontFamily->"Comic Sans MS",16],"  ",Style["x=0,  t>0",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["((∂U)/(∂r))+(Subscript[K, 2])U=(Subscript[af, 2])",FontFamily->"Comic Sans MS",16],"  ",Style["x=L,  t>0",FontFamily->"Comic Sans MS",16]},{Style["U=(x+a)F(x+a)",FontFamily->"Comic Sans MS",16],"  ",Style["t=0,  0<x<L",FontFamily->"Comic Sans MS",16]}}]}}]

SOLUCIÓN

Este problema es idéntico al de una placa de espesor L, que puede ser resuelto con las técnicas ya estudiadas anteriormente y cuya solución es:

R((Subscript[β, m])r)=(Subscript[β, m])(Subscript[cosβ, m])(r-a)+(Subscript[K, 1])(Subscript[sinβ, m])(r-a)

con

(Subscript[K, 1])=(Subscript[h, 1])+(1/a)

y

(Subscript[tanβ, m])(b-a)=(((Subscript[β, m])((Subscript[K, 1])+(Subscript[K, 2])))/(((Subscript[β, m])^2)-(Subscript[K, 1])(Subscript[K, 2])))

CONSTRUCCIÓN DE LA SOLUCIÓN COMPLETA

Esfera aislada

Cuando ambas fronteras r = a y r = b están aisladas (Subscript[h, 1]) = (Subscript[h, 2]) =0. En ese caso (Subscript[β, 0]) =0 también es un eigenvalor. En ese caso el término:

(3/((b^3)-(a^3)))(∫_a^b)(r^2)F(r)dr

Debe ser agregado a la solución.
Este término implica que una vez transcurrido el estado transitorio, la temperatura del estado estacionario en el medio,  será el promedio de la distribución inicial de temperatura F(r), sobre el volumen de la esfera aislada,

ACTIVIDAD

Desarrollar los primeros tres términos de cada una de las serie de la diapositiva anterior.

REFERENCIAS

Kreider. Análisis lineal.
OZISIK, M.N.  «Heat Conduction»

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE110517